連続信号と離散信号の比較

連続 離散

信号の表記

連続信号f(t)、F(ω)

離散信号f[k]、F[n]

演算

微分

df

dt
＝
lim
Δt → 0
f(t ＋ Δt) － f(t)
Δt

差分 Δf[k] ＝ f[k ＋ 1] － f[k]

積分∫

 b

 
a
f(t)dt

和分

N－1

∑
k ＝ 0
f[k]

遅延 D f[k] ＝ f[k － 1]

方程式

微分方程式

d

dt
f(t) ＋ a f(t) ＝ 0

差分方程式 D f[k] ＋ a f[k] ＝ 0

定係数線形微分方程式

定係数線形差分方程式
∑
ai(
d
dt
)i f(t) ＝ 0
∑
ai Di f[k] ＝ 0

f(t) ＝ A ex tと置いて、

∑
ai(
d
dt
)i A ex t ＝ A ex t
∑
ai xi ＝ 0
∑
ai xi ＝ 0
となり、代数方程式に帰着。

f[k] ＝ A xkと置いて、

∑
ai Di A xk ＝ A xk
∑
ai x－i ＝ 0
∑
ai x－i ＝ 0
となり、代数方程式に帰着。

多元連立1階微分方程式

多元連立1階差分方程式
d
dt
f (t) ＝ Af(t)
f (t) は n 次元縦ベクトル

Aは n 次正方行列
D f[k] ＝ Af[k]
f[k] は n 次元縦ベクトル

Aは n 次正方行列

↑の解は、

f(t) ＝ Exp(A t )f0
f0は n 次元縦ベクトル

Aは n 次正方行列

↑の解は、

f[k] ＝ Akf0
f0は n 次元縦ベクトル

Aは n 次正方行列

ただし、ExpA ＝

∞
∑
n ＝ 0
1
n!
An

伝達関数解析

ラプラス変換

Z 変換
F(s) ＝ ∫
 ∞
 
0
f(t)exp(－st)dt
F(z) ＝
∞
∑
k＝－∞
f[k] z－k
d
dt
→ s
∫
 
 
→
1
s
D → z－1