δ関数のフーリエ変換

δ関数および指数関数のフーリエ変換は以下のようになります。

ℱ[δ(t ± T)] (ω) ＝ exp(±i Tω)
ℱ[ exp (±i ω0 t) ] (ω) ＝ 2π δ(ω ± ω0)

δ関数級数

離散関数を取り扱う際、以下のようにδ関数を等間隔で並べた級数δTがしばしば用いられます。

δT(t) ＝
∞
∑
k＝－∞
δ(t － kT)
この級数δTは、周期Tの周期関数となるので、フーリエ級数展開可能です。 cn ＝
1
T
∫
 T/2
 
－T/2
δT(t)exp(－iω0nt)dt ＝ 1 となるので、 級数δTのフーリエ級数展開は以下のようになります。
δT(t) ＝
∞
∑
k＝－∞
δ(t － kT) ＝
1
T
∞
∑
n＝－∞
exp(iω0 n t)
ただし、ω0 ＝
2π
T
 です。 また、この結果と指数関数のフーリエ変換の公式から、 級数δTのフーリエ変換を求めると以下のようになります。
ℱ[ δT(t)] (ω) ＝ ℱ[
1
T
∞
∑
n＝－∞
exp(iω0 n t)](ω) ＝
2π
T
∞
∑
n＝－∞
δ(ω － nω0) ＝ ω0
∞
∑
n＝－∞
δ(ω － nω0)
信号処理の分野では、δ関数で表される信号をインパルス、 級数δTで表される信号をインパルス列と呼びます。

sinc関数

以下のようにして定義された関数sinc x を sinc 関数と呼びます。

sinc x ＝
sin x
x
sinc 関数は以下のような性質を持ちます。
  • sinc 0 ＝ 1

  • nを非0整数とすると、sinc πn ＝ 0

  • ℱ[ sinc ω0 t] (ω)

＝ {

1  (|ω|≦ω0)
0  (|ω|＞ω0)

  • sinc ω0 t

＝ ∫

 ω0
 
－ω0
exp(iωt)dω

δ(t) ＝

lim
ω0→∞
sinc ω0 t