概要

3次元空間中での回転は、回転軸と回転角で表すことができます。 実用上、回転軸 p = ( px , py , pz ) と回転角 θ は、以下のような形式に変換して置くことが多いです。

( cos
θ
2
, sin
θ
2
px , sin
θ
2
py , sin
θ
2
pz )
これを、以下のように表したりもします。
( cos
θ
2
; sin
θ
2
p )
この形式を四元数といいます。

四元数

四元数なんていうたいそうな名前が付いているは、 元をただせば数学的な意味があるからなんですが、 四元数の数学的意味は、画像処理・3D CG の分野では大して役に立ちません。

応用上は、元々の数学的な意味を知る必要はあまりなく、 回転軸 p = ( px , py , pz ) と回転角 θ の情報を、 4次元の単位ベクトルとして、

( cos
θ
2
; sin
θ
2
p ) = ( cos
θ
2
, sin
θ
2
px , sin
θ
2
py , sin
θ
2
pz )
という形式で持っているものとだけ覚えておけば十分。

3次元空間上の回転

まず、3次元空間上の回転を定式化します。

3次元空間上の回転を表すためには、回転軸ベクトル p と回転角度 θが必要になります。 回転軸ベクトルの絶対値は意味を持たないので、 | p | = 1 であるものとしてます。

座標ベクトル u で表される点 A を、回転軸 p を中心に角度 θ 回転した点 A' の座標ベクトル u' は、以下のような計算で求めることができます。

u' = sinθ u × p + cosθ ( u − ( u ⋅ p ) p ) + ( u ⋅ p )p
= sinθ u × p + cosθ u + ( 1 − cosθ ) ( u ⋅ p ) p
ちなみに、この式の導出の仕方ですが、下図のようになります。

3次元ベクトルの回転

3次元ベクトルの回転

原点を O、点 A から回転軸におろした垂線の足を H とすると、

OH = ( u ⋅ p ) p
HA = u − ( u ⋅ p ) p
となります。 また u × p は、 p および HA に垂直で、 絶対値が | HA | と等しいベクトルになります。 HA' は、
HA' = cosθ HA + sinθ u×p
= sinθ u × p + cosθ u + ( 1 − cosθ ) ( u ⋅ p ) p
と表すことができるので、先ほど示した式を導き出すことができます。

行列を使った3次元空間上の回転

前節で示した式で3次元空間中の回転が表現できるんですが、 実際には、この式をそのまま使うのではなく、行列演算に変形してから使います。 (行列にすることで、拡大縮小や平行移動などと一緒に、まとめて扱えるため。）

3次元ベクトルの外積計算は以下のように、

p × u 
  <span class="normal">=</span>

  <span class="vector">u</span>
  <span class="paren" style="font-size:4em;">[</span><div data-ufcpp-raw-table-placeholder="12"></div><span class="paren" style="font-size:4em;">]</span>
</div>

行列とベクトルの積としても書き表わせます。 （ただし、ベクトルは横ベクトルを仮定しています。）

また、 ( u ⋅ p ) p という部分も、

( u ⋅ p ) p 
  <span class="normal">=</span>

  <span class="vector">u</span>
  <span class="paren" style="font-size:4em;">[</span><div data-ufcpp-raw-table-placeholder="13"></div><span class="paren" style="font-size:4em;">]</span>
</div>

と表せます。

これらを使うと、 先ほどの回転の式は、以下のような行列で表すことができます。

u' = sinθ u × p + cosθ u + ( 1 − cosθ ) ( u ⋅ p ) p
= cosθ u 
  <span class="normal">+</span>

  <span class="paren" style="font-size:em;">(</span>
    <span class="normal">1</span> <span class="normal">−</span> <span class="normal">cos</span>θ
  <span class="paren" style="font-size:em;">)</span>
  <span class="vector">u</span>
  <span class="paren" style="font-size:4em;">[</span><div data-ufcpp-raw-table-placeholder="14"></div><span class="paren" style="font-size:4em;">]</span>

  <span class="normal">+</span>

  <span class="normal">sin</span>θ
  <span class="vector">u</span>
  <span class="paren" style="font-size:4em;">[</span><div data-ufcpp-raw-table-placeholder="15"></div><span class="paren" style="font-size:4em;">]</span>
</div><div class="math">
  <span class="normal">=</span>
  <span class="vector">u</span>

  <span class="paren" style="font-size:4em;">[</span><div data-ufcpp-raw-table-placeholder="16"></div><span class="paren" style="font-size:4em;">]</span>
</div>

四元数から回転行列を計算

ここで話を四元数に戻します。

四元数は、 回転軸 p = ( px , py , pz ) と回転角 θ の情報を、以下の形式で保持するものです。

( cos
θ
2
; sin
θ
2
p ) = ( cos
θ
2
, sin
θ
2
px , sin
θ
2
py , sin
θ
2
pz )
ここで、sin や cos を何度も書きたくないので、 以下のように書き表わすことにします。
q = ( qw , qx , qy , qz , ) = ( cos
θ
2
, sin
θ
2
px , sin
θ
2
py , sin
θ
2
pz )
ここで、三角関数の倍角の公式を使うと、以下の等式が導かれます。 （* と † の位置には、x, y, z のいずれかが入ります。）
2 q* q † 
  <span class="normal">=</span>

  <span class="normal">2</span>
  <span class="normal">sin</span><sup><span class="normal">2</span></sup>
  <div data-ufcpp-raw-table-placeholder="27"></div>
  p<sub>*</sub>
  p<sub>
    <span class="normal">†</span>
  </sub>

  <span class="normal">=</span>
  <span class="paren" style="font-size:em;">(</span>
    <span class="normal">1</span> <span class="normal">−</span> <span class="normal">cos</span>θ
  <span class="paren" style="font-size:em;">)</span>
  p<sub>*</sub>
  p<sub>
    <span class="normal">†</span>
  </sub>
</div><div class="math">
  <span class="normal">2</span>
  q<sub>w</sub>
  q<sub>*</sub>

  <span class="normal">=</span>

  <span class="normal">2</span>
  <span class="normal">sin</span>
  <div data-ufcpp-raw-table-placeholder="28"></div>
  <span class="normal">cos</span>
  <div data-ufcpp-raw-table-placeholder="29"></div>
  p<sub>*</sub>

  <span class="normal">=</span>
  <span class="normal">sin</span>θ
  p<sub>*</sub>
</div><div class="math">
  <span class="normal">2</span>
  q<sub>w</sub><sup><span class="normal">2</span></sup>

  <span class="normal">=</span>

  <span class="normal">2</span>
  <span class="normal">cos</span><sup><span class="normal">2</span></sup>
  <div data-ufcpp-raw-table-placeholder="30"></div>

  <span class="normal">=</span>
  <span class="normal">1</span>
  <span class="normal">+</span>
  <span class="normal">cos</span>θ
</div>

これらを、前節で求めた行列に代入すると、 以下の結果が得られます。

u' = u 
  <span class="paren" style="font-size:4em;">[</span><div data-ufcpp-raw-table-placeholder="31"></div><span class="paren" style="font-size:4em;">]</span>
</div>

あるいは、 | q | = 1 なことを利用して、以下のようにも書けます。

u' = u [
1 − 2 ( qy2 + qz2 ) 2 ( qx qy − qz qw ) 2 ( qx qz + qy qw )
2 ( qx qy + qz qw ) 1 − 2 ( qz2 + qx2 ) 2 ( qy qz − qx qw )
2 ( qx qy − qy qw ) 2 ( qy qz + qx qw ) 1 − 2 ( qx2 + qy2 )
]
ちなみに、こうやって作られた行列は、必ず直交行列になります。 （実際、計算してみてもらうと、各列が正規直行していることがわかります。） 回転しかしていないんだから、長さも角度も変わらない変換（＝ 直交行列による1次変換）になっていないとおかしいはずです。