概要
カットオフ周波数 1 のローパスフィルタを設計すれば、 ある変換ルールを用いて任意のローパス・ハイパス・バンドパス・バンドストップフィルタを設計できます。
また、アナログ的手法で設計したフィルタをディジタル化 （アナログ伝達関数をディジタル伝達関数に変換）することができます。
アナログ→アナログ
執筆予定
・アナログ
カットオフ周波数 1 のローパスから、
カットオフ周波数 ω<sub>0</sub> のローパス
s → s / ω<sub>0</sub>
↑
これは、区間 (－ω0, ω0) を (－1, 1) に移す写像。
カットオフ周波数 ω<sub>0</sub> のハイパス
s → ω<sub>0</sub> / s
↑
これは、区間 (－∞, －ω0), (ω0, ∞) を (－1, 1) に移す写像。
中心周波数 ω<sub>0</sub>、バンド幅 Δω のバンドパス
s → Δω s / (s<sup>2</sup> ＋ ω<sub>0</sub><sup>2</sup>)
↑
これは、区間 (ω0－Δω/2, ω0＋Δω/2) を (－1, 1) に移す写像。
中心周波数 ω<sub>0</sub>、バンド幅 Δω のバンドストップ
s → (s<sup>2</sup> ＋ ω<sub>0</sub><sup>2</sup>) / (Δω s)
・双2次バンドパスフィルタの零・極
双2次フィルタの一般形は
s<sup>2</sup> ＋ c s ＋ d
-------------------------
s<sup>2</sup> ＋ a s ＋ b
分母分子共に、共役複素解を持つものとして、
(s － β) (s － β<sup>*</sup>)
--------------------
(s － α) (s － α<sup>*</sup>)
これを元に、バンドパスフィルタ化するために、
s → Δω s / (s<sup>2</sup> ＋ ω<sub>0</sub><sup>2</sup>)
で変数変換すると、
極は以下のように変換される。
α ± √(α<sup>2</sup> － (ω<sub>0</sub> / Δω)<sup>2</sup>)
----------------------- ,
2 Δω
α<sup>*</sup> ± √(α<sup>*</sup><sup>2</sup> － (ω<sub>0</sub> / Δω)<sup>2</sup>)
-----------------------
2 Δω
α ＋ √(α<sup>2</sup> － (ω<sub>0</sub> / Δω)<sup>2</sup>)
-----------------------
2 Δω
と
α<sup>*</sup> － √(α<sup>*</sup><sup>2</sup> － (ω<sub>0</sub> / Δω)<sup>2</sup>)
-----------------------
2 Δω
が互いに共役。
元々の極 α を <span class="math">α ＝ a ＋ ib</span> で表すと、
変換後の極 α' は
α' ＝ a ＋ ib ± √(a<sup>2</sup> － b<sup>2</sup> － ω<sup>2</sup> ＋ i2ab)
-----------------------------------
2Δω
（ω ＝ ω<sub>0</sub>/Δω）
√(a<sup>2</sup> － b<sup>2</sup> － ω<sup>2</sup> ＋ i2ab) の部分を c ＋ id、
D ＝ a<sup>2</sup> － b<sup>2</sup> － ω<sup>2</sup> と置くと、
c ＝ √(√(D<sup>2</sup> ＋ 4) ＋ D)
d ＝ √(√(D<sup>2</sup> ＋ 4) － D)アナログ→ディジタル
執筆予定
インパルス不変法
双一次変換
双一次変換は別ページで詳しく（双1次変換 bilineartrans.xml ）。