時間的に変化する電磁場

電荷も電流もない空間上ではマクスウェルの方程式の微分形は以下のようになります。

(i)

 ∇× E = −μ
∂
∂t
H

(ii)

 ∇× H = σE+ε
∂
∂t
E

(iii)

 ∇・ D = 0

(iv)

 ∇・ B = 0

ここで、この式を E だけ、 もしくは H だけで表すことを考えます。 そのために、まず(i)式の両辺の回転を取ります。

∇× ( ∇× E ) = −μ
∂
∂t
∇×H
ここで、 ∇×( ∇× E ) = ∇∇・E − ΔE であることおよび、(ii)式、(iii)式を代入すると、
Δ E = σμ
∂
∂t
E + εμ
∂2
∂t2
E
という関係式が得られます。 同様に、(ii)の回転を取り、(i)式、(iv)式を代入すると、
Δ H = σε
∂
∂t
E + εμ
∂2
∂t2
H
という関係式が得られます。

電磁波

特に、 σ = 0 すなわち、伝導電流が流れないとき、 上式は

Δ E = εμ
∂2
∂t2
E
Δ H = εμ
∂2
∂t2
H
となります。 この式は波動方程式と呼ばれ、速度 v = ( ε μ )−1/2 で伝播する波動を表す式です 。 すなわち、電磁場は波動として空間中を伝播するということになります。 この、電磁場の作る波動を電磁波といいます。

ここで、話を簡単にするために、この微分方程式のもっとも単純な形の解

E = E0cos(ωt−kx)
を考えます。 ただし、 E 0 は E の初期値で、 ωはこの波動の角周波数、 k は波数で、
| k | 2
ω2
=
1
v2
= εμ という関係式が成り立ちます。

この式は、進行波と呼ばれるもので、 E は常に E 0 と同じ方向(もしくは、その逆向き)を向き、 k の方向に速度vで伝播していきます。

さて、このとき、(i)式から磁場 H を求めると、

H = −
1
μ
∫
 
 
∇×E0cos(ωt−kx)Dt = −
1
μ
∫
 
 
k×E0sin(ωt−kx)Dt =
k×E0
μω
cos(ωt−kx)
ここで、
| k | 2
ω2
= εμ であることを用いると、
H =
1
η
ik×E0cos(ωt−kx)
という関係式が得られます。 ただし、 i k は k の方向(すなわち波動の進行方向)を向く単位ベクトルで、 η は η = (
μ
ε
)1/2 で、固有インピーダンスと呼ばれています。

同様に H = H0cos( ωt−kx ) とおいて、(ii)式から電場 E を求めると、

E = −ηik×H0cos(ωt−kx)
という関係式が得られます。 そして、この2つの式から E, H, k は互いに直行している ことが分かります。