面積分とは

ある曲面S上で定義されるスカラー場Fに対し、

∫
 
 
S
FdS
をFのS上での面積分といいます。 ここで、 dS はS上の微小面積素です。 曲面Sが閉曲面の場合、
∮
 
 
S
FdS
と書きます。

ベクトル場の面積分

ベクトル場 F を考えます。 曲面Sの単位法線ベクトルを n とすると F・n はスカラー場となります。 これをFとおいて面積分すると、

∫
 
 
S
FdS = ∫
 
 
S
F・ndS
となります。 ここで、 dS = ndS とおくと上の式は
∫
 
 
S
F・dS
となります。 この dS を面積素ベクトルといいます。

物理学ではこのように曲面を貫くベクトル場の法線方向成分のみが問題となる場合が多いので、 ∫

 
 
S
F・dS という形の式を、 単にベクトル場 F の曲面S上での面積分ということもあります。

面積分の直交座標系での表現

曲面S上の点 r は媒介変数を持ちいて r(u,v)=( x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) と言う風に表されます。ここで、uがごく小さい値 du だけ変化したとき、 r は

∂r
∂u
du
だけ変化します。同様にvが dv だけ変化したとき、 r は
∂r
∂v
dv
だけ変化します。 このとき、
∂r
∂u
du および
∂r
∂v
dv はSの接ベクトルになっています。

図1のように

∂r
∂u
du および
∂r
∂v
dv はSと dS, n の間には

(
∂r
∂u
du )×(
∂r
∂v
dv ) = ndS
という関係があります。よって dS は、
dS =
∂r
∂u
×
∂r
∂v
dudv
となります。

dS と du, dv の関係

dS と du, dv の関係

ここで

∂r
∂u
×
∂r
∂v
を座標成分ごとにあらわすと

(
∂y
∂u
∂z
∂v
−
∂z
∂u
∂y
∂v
,
∂z
∂u
∂x
∂v
−
∂x
∂u
∂z
∂v
,
∂x
∂u
∂y
∂v
−
∂y
∂u
∂x
∂v
)
となることと、
dxdy = (
∂x
∂u
∂y
∂v
−
∂y
∂u
∂x
∂v
)dudv
dydz = (
∂y
∂u
∂z
∂v
−
∂z
∂u
∂y
∂v
)dudv
dzdx = (
∂z
∂u
∂x
∂v
−
∂x
∂u
∂z
∂v
)dudv
であることから、結局 dS は
dS = ( dydz,dzdx,dxdy )
と表すことができます。 よって、 F=( Fx,Fy,Fz ) とおくと、 線積分は
∫
 
 
S
F・dS = ∫∫
  
 
S
( Fxdydz+Fydzdx+Fzdxdy )
となります。