接ベクトル
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概要
共変ベクトル ＝ 接ベクトルの話を。
接ベクトル
本題の微分形式に入る前に、
先に
に関する話をしましょう。
前節で、共変ベクトル
ai
は接ベクトルとも呼ばれるという話をしました。
ここではその意味について説明します。
は書くのが大変なので、
∂ui
と略記。
添え字が下付きになっていることに注意。
執筆予定
・接ベクトル
まず、3次元空間上の曲面で説明
x ＝ (x(s, t), y(s, t), z(s, t))
と表される曲面に対して、
∂x/∂s と ∂x/∂t はこの曲面の接線の1つになる。
その線形結合
a (∂x/∂s) ＋ b (∂x/∂t)
も接平面上のベクトルになる。
なので、いっそのこと、
a(∂/∂s) ＋ b(∂/∂t)
という微分演算子を接ベクトルと呼んでしまう。
一般に、N 次元多様体 x を考える場合でも、
座標 u に対して、微分演算子の線形結合
f<sup>i</sup>(∂/∂u<sup>i</sup>)
を接ベクトルと呼ぶ。
f<sup>i</sup> は u の関数ね。
x の各点 u に対して1つのベクトル f<sup>i</sup> が定まる。
位置に関する関数ということで、これを接ベクトル場と呼んだりする。
あるいは、単に「ベクトル場」というと接ベクトル場のこと。
接ベクトル場は、要するに ∂/∂u<sup>i</sup> を基底とするベクトル空間になるわけだけど、
∂/∂u<sup>i</sup> の座標変換規則を考えると、接ベクトル場には
f<sup>i</sup>∂/∂u<sup>i</sup>
＝
f<sup>i</sup>(∂v<sup>j</sup>/∂u<sup>i</sup>)∂/∂v<sup>j</sup>
という座標変換規則がある。
- ベクトル場と積分曲線
V(u) ＝ V<sup>i</sup>(u) (∂/∂u<sup>i</sup>) を接ベクトル場として、
du/dt ＝ V(u)
という微分方程式の解を V の積分曲線という。
この微分方程式の解によって、ベクトル場 V に沿った曲線が描かれる。
運動方程式とか、多くの微分方程式がこの形に帰着される。
v ＝ φ(u) のとき、
du/dt ＝ V<sup>i</sup>∂/∂u<sup>i</sup>
の積分曲線を u(t) とすると、
dv/dt ＝ V<sup>i</sup>(∂v<sup>j</sup>/∂u<sup>i</sup>)∂/∂v<sup>j</sup>
の積分曲線を v(t) で、
v(t) ＝ φ(u(t)) となるものが必ず存在する。
