概要
行列とは何なのかといわれると、いろいろな表現の仕方があるのですが、
大まかに言うと以下の2つになります。
行列
まず、行列というのは1次方程式を簡潔に表現するための便法だと考えることができます。
例えば、
a11 x1
＋
a12 x2
＝
b1
a21 x1
＋
a22 x2
＝
b2
というような連立1次方程式を、
と表す。
あるいは、
と置いて、
A x ＝ b
と表すことができます。
こうすることで、
1変数の場合と同じ記法で他変数の1次方程式を記述できます。
1変数のときに、
a x ＝ y, b y ＝ c ならば
a b x ＝ c で、
x ＝ b－1 a－1 c と表せるように、
他変数の場合でも行列を用いて、
A x ＝ y, B y ＝ c を
x について解いたものを
x ＝ B－1 A－1 c と表せます。
行列を用いて1変数のときと同じ記法で他変数の場合を表現できるのは、
1次方程式の解だけじゃなくて他にもいろいろなものがあります。
以下に、いくつか例を挙げます。
線形漸化式
1変数のとき、
xn ＋ 1
＝
a
xn
⇒
xn
＝
an
x0
多変数でも、
xn ＋ 1
＝
A
xn
⇒
xn
＝
An
x0
線形微分方程式
1変数のとき、
x
(t
)
＝
a
x
(t
)
⇒
x
(t
)
＝
e
at
x
(0
)
多変数でも、
x
(t
)
＝
A
x
(t
)
⇒
x
(t
)
＝
exp(At
)
x
(0
)
ただし、行列
A の指数関数
exp(A) は冪級数で定義。
これらの例に示すように、
行列というのは、数というものを多変数・高次元の場合に一般化したものだと考えることができます。
線形写像
行列の持つもう1つの側面として、線形写像という考え方があります。
ベクトルに対して、線形性という性質にのみ着目して、線形空間として抽象化したように、
行列も線形写像として抽象化されます。
前節の説明で、行列というのは、以下のような1次方程式を表現するための便法だと説明しました。
ベクトル・行列を使って表すと、
Ax ＝ y
となりますが、この式は、
「ベクトル
x に対して行列を掛けると、別のベクトル
y が得られる」
と考えることもできます。
すなわち、行列はベクトル → ベクトルへの変換・写像だとみなせます。
これに対して、
一般の線形空間 → 線形空間の写像で以下の性質を満たすものを線形写像といいます。
U, V は体 K 上の線形空間で、
f は U → V の写像とします。
x, y ∈ U, a, b ∈ K のとき、
f(ax ＋ by)
＝
a f(x)
＋
b f(y)
となるとき、
f を
U →
V の線形写像といいます。
「ベクトルと線形空間」の「基底」で触れましたが、
任意の線形空間は、適当な座標系を与えることで、数ベクトルとして表現可能です。
なので、任意の線形写像は、定義域・値域の両方に適当な座標系を与えることで、
（有限次元ならば）行列として表現可能です。
例えば、文字 t に関する3次多項式は線形空間、
それに対する微分演算は線形写像になりますが、
3次多項式の基底として、{1, t, t2, t3} をとるなら、
微分演算 は
という行列で表されます。
ただし、行列での表し方は、座標系の取り方に依存しています。
今の例において、基底の取り方をチェビシェフ多項式
{1, t, 2t2 － 1, 4t3 － 3t} に変えると、
となりますし、
ルジャンドル多項式
{1, t, t2 － , t3 － t} に変えると、
となります。
ということで、線形写像 ≒ 行列 と思ってもいいわけですが、
抽象的に定義しておく方が扱える対象が広がって都合がいいので（無限次元も扱えるし）、
抽象化します。
もし必要なら、必要が生じたときに始めて、
その時々に最も適切な座標系を選んで、行列表現を得ます。
座標変換
同じ線形空間上の同じ元でも、座標系の取り方によって異なる数ベクトルで表される。
ある座標系から別の座標系に変換することを座標変換と言う。
座標変換も線形写像になる ＝ 行列で表される。
例として、前節で例示した t に関する3次多項式の座標変換を考えてみましょう。
多項式 a ＋ b t ＋ c t2 ＋ d t3 は、
座標系 {1, t, t2, t3} を用いるなら、
(a, b, c, d) となります。
一方で、
チェビシェフ多項式を用いた座標系
{1, t, 2t2 － 1, 4t3 － 3t}
を用いるなら、
(a ＋ 1/2 c, b ＋ 3/4 d, 1/2 c, 1/4 d)
となります。
したがって、
{1, t, t2, t3}
から
{1, t, 2t2 － 1, 4t3 － 3t}
への座標変換は以下のような行列で表現できます。
