リーマン球面
リーマン球面という考え方を用いて、 複素数に ∞ を付け加えることができます。 リーマン球面の概要を説明すると、以下のようになります（図1）。
三次元空間上のx-y平面を複素数平面とみなす。
三次元空間上の点(0, 0, 1/2)を中心とする直径 1 の球面をSとする。
球面の上端の点n ＝ (0, 0, 1)をこの球面の北極点と呼ぶ。
北極点nと点p ＝ (x, y, z)を通る直線と、複素数平面の交点をα ＝ u ＋ iv ＝ (u, v, 0)とする。
すると、点pと点αは1対1に対応するので、球面上の点pによって複素数を表すことが出来る。
北極点nに対応する複素数はないが、この点を∞に相当する点として複素数に加える。
ここで出てきた球面をリーマン球面（Riemann sphere：リーマンはドイツの数学者の名前）と呼びます。 複素数をリーマン球面上の点として考えることで、 複素数に∞に相当する値を付け加えることが出来ます（しかも、空間的に連続に）。
このようにして、複素数 C に∞を付け加えたものを拡張複素数と呼び、 C* とか C の上にハット（^）を付けたもので表します。
C
*
＝
C
∪
{∞}
この定義による∞は、
北極点で定義されることからも明らかなように、
ただ1つの元になります。
すなわち、
∞は、
0 と同じように、
偏角を持っていません。
当然、±の区別も付きません（－∞ ＝ ∞）。
余談ですが、
このリーマン球面の考え方のように、ある空間を1次元高い次元から“見下ろす”ことによって、
数学としての表現の幅が広がることがよくあります。
∞の逆数
リーマン球面上に、図2で示すような座標 ( φ, θ ) を導入します。
すると、 複素平面状の点 α は、
α ＝
exp(i φ)tanθ
と表されます。
そして、この逆数α－1は
α－1
＝
exp(－i φ)cotθ
＝
exp(－i φ)tan(π/2 － θ)
となります。
したがって、
座標
(φ, θ)
で表される点の逆数の座標は
(－φ, π/2 － θ)
となります。
ところで、この座標を用いた表現では、
複素数平面状の0（＝リーマン球面上の南極点）の座標は
(φ, 0)
（φ は任意）で、
∞（＝リーマン球面上の北極点）の座標は
(φ, π/2)
になります。
先ほどの逆数に関するルールと照らし合わせると、
0 の逆数は∞、
∞の逆数は 0、
と言えます。
0 で割っても意味がない
詳しい説明は省きますが、 ∞には何をかけてもやはり∞です。
∀α ∈ C* － {0},
α × ∞
＝
∞ × α
＝
∞
先ほどの説明の通り、
リーマン球面上では、
∞は 0 の逆数とみなすことができます。
なので、0 で割るというのは、
∞ を掛けると読み替えることが出来るわけです。
ですが、「∞には何をかけても∞」なので、
「0 で割ると何を割っても∞」ということになります。
「何を割ったか」という情報は失われ、
ただ「∞になった」という意味のない結果だけが残ります。
まとめ
リーマン球面という考え方を使うと、 0 の逆数として ∞ を定義できます。 しかしながら、 ∞は 0 と同様に特別扱いが必要な数です。