代数系

集合Sに対して、S^S×Sの元(S×SからSへの写像)をSの算法(operation)もしくは演算と呼び、 その性質に応じて、×, ＋, ・などで表します。 (算法は、2つの元の間に働くものであることを明示するため、2項演算(binary operation)などと呼ぶこともあります。) 「集合Sが算法・を持つ」とは、 すなわち、集合Sの元x, yに対して、別の元x ・ y∈Sが存在することをさします。

集合Aと、その算法の族Oに対して、順序対(A, O)を代数系(algebraic system)と呼び、Aをその台(Support)、Oをその算法族と呼びます。 算法族の元が唯一(O={・})であるときには、(A, {・})を単に(A, ・)と書きます。 また、算法族を省略して、代数系を単にAで表すこともあります。

例えば、自然数全体の集合をω、その加法を＋、乗法を×とすると、(ω, {＋, ×})は代数系となります。

代数系の性質

代数系が与えられたとき、その性質に応じて代数系を分類することが出来ます。 ここでは、代数系を分類する際に用いるいくつかの性質について説明します。

結合法則

代数系(A, ・)が与えられたとき、 Aの元x, y, zについて、

が成り立つとき、・について結合法則(associative low)が成り立つといい、 Aは・について結合的(associative)であるといいます。

交換法則

Aの元x, yについて、

が成り立つとき、・について交換法則(commutative low)が成り立つといい、 Aは・について可換(commutative)であるといいます。 結合法則および交換法則を満たす算法は＋で表し、加法と呼ぶことが多いです。

分配法則

2つの算法＋, ×を持つ代数系(A, {＋, ×})が与えられたとき、 Aの元x, y, zについて、

が成り立つとき、分配法則(distributive low)が成り立つといいます。 分配法則が成り立つとき、算法＋を加法、×を乗法と呼びます。

単位元

Aの元eで、 任意の元x∈Aに対して

が成り立つようなものがあれば、eを・に関する単位元(unity)と呼びます。 また、Aが単位元を持つとき、Aは単位的(unitary)であるといいます。 単位元が存在するならば、それは一意的に定まります。 すなわち、e' ・ x = x ・ e' = xを満たすような元e'があれば、e = e ・ e' = e'となります。 単位元はeの他に、i, 1などの記号で表すことも多い。 また、加法＋に関する単位元は、0で表し、零元と呼ぶこともあります。

逆元

Aの元xに対して、

を満たすようなAの元yが存在するとき、xは正則(regular)であるといいます。ただし、eはAの単位元です。

xが正則元であるとき、上式を満たすような元yは一意的に定まり、このような元をxの逆元(inverse)と呼びます。 一般的に、乗法×に関するxの逆元はx^－1と表し、 加法＋に関する逆元は－xと表すことが多いです。

また、xが正則元であるとき、x^－1も正則となり、(x^－1)^－1 = xとなります。