概要

ひとくちに微分方程式といってもさまざまな形のものがあります。 一般的には、微分方程式は解析的に解を求めることができませんが、 特定のパターンの場合に限り解析解を求めることが出来ます。

微分方程式に関する数学分野の1つに、 微分方程式がどういうパターンの時に、 どういう方法で解析解を計算できるのかというものがあります。

執筆予定

・まず、具体例を
力学の法則： ma = f
  速度抵抗
  単振動
  中心力： 重力、惑星の運動
放射性原子の崩壊： 原子の個数に比例して崩壊
電気回路


・解ける常微分方程式
- 変数分離形
- 定数係数線形
  - 基礎： 2階で斉次の場合 → 「[2階常微分方程式](/study/math/analysis/diffsecond)」
  - 一般論： 「[定数係数線形微分方程式](/study/math/analysis/difflinear)」
- 全微分形

↑の場合には確実に解けることがわかってる。

これ以外の場合でも、変数変換とかいろいろ式変形をすれば
↑のどれかの形に帰着できるものも多い。

・級数解法

・数値解法
解けない場合も多い、というか、方程式の形が複雑になるとまず解けない
→ コンピュータを使った近似解

もっとも単純な微分方程式について説明しつつ、いくつか用語の説明。

微分方程式の中で最も簡単なものというと、 間違いなく1変数定係数1階線形斉次微分方程式でしょう。 1変数定係数1階線形微斉次分方程式というのは、要するに、

d
dt
x(t)+ a x(t)=0
という形の微分方程式です。 言葉の意味は以下の通りです。

  • 1変数 … 名前どおり、独立変数が1つだけ。（tのみ。）

  • 1階 … 方程式中に1次微分（

    d
    dt
    x(t) ）までしかでてこない。

  • 線形 … x(t),

    d
    dt
    x(t) に関して線形。（ x2 とかが出てこない。）

  • 定係数 … x(t),

    d
    dt
    x(t) の前に掛かっている係数aが定数。

  • 斉次 … 0次の項がない。（ x(t),

    d
    dt
    x(t) の項しかない。）

このような微分方程式は、 速度抵抗を受ける物体の運動や、 抵抗とコンデンサのみからなる電気回路（RC回路）の電圧変化などに現れます。

この形の微分方程式は、変数分離系というパターンで解くことができて、 解は以下のようになります。

−a dt ＝
1
x
dx
−a ∫
 
 
dt ＝ ∫
 
 
1
x
dx
−a t ＝ logx + C
x ＝ A e−a t
ただし、途中から現れる C, A は積分定数です。